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Leibniz Universität Hannover
Universität Kassel
Universität Paderborn
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Foto: Adelheid Rutenburges

Verständnis des Ableitungsbegriffes und dessen Anwendung in der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler

Frank Feudel, Universität Paderborn
Betreuer: Prof. Dr. Rolf Biehler

Kurzbeschreibung des Promotionsvorhabens
Der Ableitungsbegriff spielt in der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler eine zentrale Rolle.  Er besitzt zahlreiche Anwendungen, zum Beispiel in der Kostentheorie.  Ein zentrales Ziel in der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler sollte demnach sein, ein angemessenes Verständnis des Ableitungskonzeptes aufzubauen, sodass die Studierenden dieses Konzept reflektiert auf wirtschaftswissenschaftliche Probleme anwenden können. Folgende drei Forschungsfragen sollen in dem Promotionsprojekt beantwortet werden:

  1. Welches Verständnis des Ableitungsbegriffes benötigen Studierende der Wirtschaftswissenschaften?
  2. Welches Verständnis des Ableitungsbegriffes haben Studierende der Wirtschaftswissenschaften zu Beginn ihres Studiums?
  3. Welches Verständnis des Ableitungsbegriffes haben Studierende der Wirtschaftswissenschaften nach Besuch der Vorlesung „Mathe für Wiwi” unter besonderer Berücksichtigung der ökonomischen Interpretation der Ableitung? 

Ein besonderer Fokus wurde hierbei auf die ökonomische Interpretation der Ableitung gelegt. In den Wirtschaftswissenschaften wird die Ableitung oft als absolute Änderung der Funktionswerte bei Erhöhung des Arguments um eine Einheit (zum Beispiel in der Kostentheorie als Zusatzkosten bei Erhöhung der Produktion um eine Mengeneinheit) gedeutet. Diese Deutung ist aber auf den ersten Blick nicht kohärent zu den Auffassungen der Ableitung als Steigung oder als Änderungsrate, welche den Studierenden aus der Schule bekannt sein sollten (Unterschiede im numerischen Wert und in den Einheiten). Deshalb sollte sie für eine verständige Verwendung gut in das bisherige concept image (nach Tall und Vinner (1981)) integriert werden. Die Verbindung zwischen dem mathematischen Konzept der Ableitung und ihrer ökonomischen Interpretation ist die Approximationsformel Kx+h-K(x)≈K'(x)∙h für kleine h, welche entweder über die Definition der Ableitung und den Approximationsaspekt des Grenzwertes, oder über die Verwendung der Ableitung als lineare Approximation gewonnen werden kann.


Momentaner Stand des Dissertationsprojektes:

Zur Beantwortung der Forschungsfragen wurden verschiedene Studien durchgeführt:

  1. Analyse von drei Lehrbüchern der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler und zwei grundlegenden Lehrbüchern der Wirtschaftswissenschaften zur Beantwortung der Frage, welches Wissen zur Ableitung Studierende der Wirtschaftswissenschaften benötigen
  2. Entwicklung eines Vortests auf Basis didaktischer Literatur zum Verständnis des Ableitungsbegriffs (Pilotierung im Vorkurs im September 2014, endgültiger Einsatz im Vorkurs im September 2015) zur Ermittlung des Verständnisses der Ableitung der Studierenden zu Beginn ihres Studiums
  3. Analyse von 4 Klausuraufgaben zur ökonomischen Interpretation der Ableitung und dem zugehörigen Hintergrundwissen zur Verwendung der Ableitung als lineare Approximation mit dem Ziel der Ermittlung des Verständnisses der ökonomischen Interpretation der Ableitung nach der Vorlesung „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“ (Pilotierung im Februar 2015, endgültiger Einsatz im Februar 2016).
  4. Durchführung einer Interviewstudie, in der im Grenzkostenkontext das genaue Verständnis des Zusammenhangs zwischen dem mathematischen Konzept der Ableitung und ihrer ökonomischen Interpretation als Zusatzkosten für die nächste Einheit untersucht wurden (Pilotierung im Oktober 2014, Durchführung der Studie im Frühjahr bzw. Sommer 2015).

Die Datenanalyse ist abgeschlossen. Die Ergebnisse werden derzeit dokumentiert und sollen in naher Zukunft auch publiziert werden.


Verwendete Forschungsmethoden:

Theoretischer Rahmen des Promotionsprojektes bildet die Theorie des concept image von Tall und Vinner (1981) zur Beschreibung des Begriffsverständnisses von Studierenden. Das concept image beschreibt dabei alle Assoziationen, welche die Studierenden mit dem entsprechenden Begriff verbinden. Dies beinhaltete insbesondere mentale Bilder, assoziierte Eigenschaften und Anwendungen des Ableitungsbegriffes. Zum Begriff der Ableitung hat Zandieh (2000) ein aus Sicht der mathematischen Community adäquates concept image als sogenanntes Rahmenmodell zu relevantem Wissen zum Ableitungsbegriff konkretisiert. Dieses besteht aus Zeilen (Rate, Grenzwert, Funktion), welche den Schritten von einer Funktion f zur Ableitungsfunktion f' entspricht, und aus Spalten, die die Repräsentationen der Ableitung enthält. Dieses Rahmenmodell wurde für die Dissertation um die ökonomische Interpretation der Ableitung und den Zusammenhang zwischen dieser und den anderen Repräsentationen der Ableitung über lineare Approximation erweitert und anschließend als Grundlage für die Konzeption des Vortests, der Klausuraufgaben und der Interviewstudie verwendet.

Zur Auswertung der Daten wurden verschiedene Methoden verwendet. Die Lehrbücher wurden aus fachlicher und stoffdidaktischer Sicht analysiert. Zur Analyse des Vortests wurde klassische Testtheorie verwendet. Die Analyse der Klausuraufgaben erfolgte inhaltsanalytisch auf der Basis identifizierter Antwortkategorien, wobei die Auswertung jedoch quantitativ erfolgte (Häufigkeiten der einzelnen Kategorien). Bei der Auswertung der Interviewstudie wurde schließlich interpretativ vorgegangen mit dem Ziel, das Wissen der Studenten zum Zusammenhang zwischen Ableitung und ihrer ökonomischen Interpretation möglichst genau zu rekonstruieren.

Publikationen

Feudel, F. (2017a): What level of understanding of the derivative do students of economics have when entering university? – Results of a pretest covering important aspects of the derivative. In R. Göller, R. Biehler, R. Hochmuth, & H.-G. Rück (Eds.). Didactics of Mathematics in Higher Education as a Scientific Discipline – Conference Proceedings. Kassel, Germany

Feudel, F. (2017b): Ableitung und Approximation in der Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Beiträge zum Mathematikunterricht 2017.

 Feudel, F (2017c): Students’ interpretation of the derivative in an economic context. In Proceedings of the Tenth Conference of the European Society for Research in Mathematics Education. Dublin, Ireland.

Feudel, F. (2016): Relevant knowledge concerning the derivative concept for students of economics-A normative point of view and students' perspectives. In E. Nardi, C. Winsløw & T. Hausberger (Hrsg.): Proceedings of the First conference of the International Network for Didactic Research in University Mathematics (pp. 181-190).  Montpellier, France.

Feudel, F. (2015): Die Ableitung als absolute Änderung? – Unterschiedliches Begriffsverständnis in Mathematik und Wirtschaftswissenschaften. Beiträge zum Mathematikunterricht 2015.

Feudel, F. (2014). The concept of marginal cost - one name for two different mathematical objects in mathematics and economics. Oberwolfach Reports, 11, No. 4.

Ansprechpartner

Frank Feudel
Universität Paderborn

Büro:          J2.308
Telefon:     (+49) 5251 - 60-1842
E-Mail:         feudel(at)khdm(dot)de